![]() |
В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
1.4.2. Ряд Лорана.
Ряд
видаНазывается рядом Лорана.
Ряд Лорана есть обобщение ряда Тейлора на отрицательные степени разложения функции в ряд. Ряд Тейлора входит в ряд Лорана как составная часть, к разложению функции по положительным степеням
.Если ряды сходятся, то сходится и ряд Лорана. Область сходимости ряда по положительным степеням разложения функции в ряд есть сфера радиуса сходимости
. В области этой сферы лежит и область сходимости ряда по изолированному направлению делителей нуля. Если R=0, то ряд сходится только в точке a, если
, то ряд сходится во всем пространстве Y.
Ряд по отрицательным степеням разложения функции сходится в сфере сходимости
Для точек, лежащих вне этих областей будет расходиться один из рядов, а следовательно будет расходиться и общая сумма. Критические точки в пространстве
Y в конечном счете определяются из общего условия разложения функции на линейные или квадратные многочлены. Согласно этим условиям в пространстве имеются два вида критических точек, таких что подстановка одного из вида критических точек в другой переводит произведение линейных множителей в произведение делителей нуля. В связи с этим два вида критических точек в полном пространстве Y, однозначно определяют область сходимости ряда Лорана и нет необходимости дополнительного исследования областей делителей нуля. Стремление к критической точки по изолированному направлению по определенному закону, приводит к критической точки другого вида. Пространственная точка включает в себя все варианты разложения функции на линейные и квадратные множители. Поэтому в пространстве справедлива теорема Абеля и Вейерштрасса.Если имеется область
Функция
|
(1.60.) |
где
где
Для определения коэффициентов ряда умножим правую и левую часть ряда на
получим соотношение
, которое проинтегрируем по поверхности
. Для любого целого n выполняется соотношение
=
,
. Откуда получаем выражение для коэффициентов ряда Лорана в виде.
Пример.
, знаменатель имеет четыре критические точки :
, поэтому функция может быть разложена по двум равноценным вариантам:
Каждую из полученных дробей обозначим по порядку
ряд сходится в границах сферы
.
, ряд сходится в границах сферы
.Суммируя коэффициенты при одинаковых степенях получим ряд для исходной функции
Ряд сходится в границах сферы
ряд сходится для точек сферы
ряд сходится для точек сферы
Суммируем коэффициенты при одинаковых степенях
и так далее
Суммируя ряды
Произведем разложение исходной функции по отрицательным степеням.
ряд сходится для всех
ряд сходится для всех
Складывая коэффициенты при одинаковых степенях
Таким образом , функция разложена в ряд по отрицательным степеням
ряд сходится для всех
.Далее произведем разложение функции по второму варианту
ряды сходятся для всех точек сферы
Таблица коэффициентов совпадает с предыдущей. Разложение функции по отрицательным степеням в пространстве также является единственным. В этом варианте корни определенные из условия существования делителей нуля не входят в область сходимости функции при разложении , поэтому разложение должно ограничиваться первым вариантом разложения.
Рассмотрим разложение исходной функции по положительным и отрицательным степеням.
Полученный ряд Лорана сходится в сферическом кольце
Ряд сходится на сфере радиуса
Проведем обобщение результатов примера. Знаменатель функции
Точками. Для определения областей регулярности функции целесообразно дробь разложить на простейшие дроби .
Введем обозначения, обозначив последовательно каждую из дробей по порядку
Разложение по положительным степеням дробей
имеет радиус сходимости
Сумма функций
Разложение суммы функций
Разложение суммы функций
Если раскладывать функцию по положительным и отрицательным степеням
Например, разложение функции по схеме
, где знак
определяет разложение по положительным или отрицательным степеням, дает ряд, имеющий область сходимости поверхность сферы
Для ряда
Однако нельзя использовать разложение из одного эквивалентного варианта с разложением из другого эквивалентного разложения.
Разложение дроби на простейшие ,в знаменателе которой стоит квадратный многочлен, существенным образом зависит от области определения дроби как функции в пространстве и способа разложения этой дроби в ряды. Возможны варианты, при которых разложение по одному варианту не допускает разложение по другому. Если область определения ограничена только верхним или только нижним полупространством , то разложение на условии существования делителей нуля недопустимо , так как исключаются условия для определения критических точек.
Способ и варианты разложения тесно связаны с областями сходимости ряда и критическими точками функции.
Иными словами, если критические точки эквивалентных разложений в пространстве не входят в область сходимости ряда то это разложение не действительно.
Пример. Рассмотрим различные варианты разложения функции
Найдем разложение функции в ряд Лорана в этих областях. Знаменатель дроби, которая представляет функцию имеет четыре корня в пространстве, которые и диктуют распределение в пространстве областей регулярности функции .Этими корнями являются:
Представим функцию в виде суммы простых дробей:
Обозначим дроби по порядку через
Знак
В области
разность функций
Ряд имеет больше радиус сходимости, чем ряд предыдущей суммы:
В силу равенства
. Для доказательства достаточно вычислить коэффициенты
при равных степенях n переменной
При
Рассмотрим область
В этом случае сумма функций
представляет ряд с отрицательными и положительными степенями переменной
Следующую сумму функций также представим в виде ряда с положительными и отрицательными степенями
Ряд сходится на сфере
Таким образом, если функция
то полученный ряд Лорана будет иметь область сходимости в виде сферы
В этом случае допускается разложение только по второму эквивалентному варианту.
Если функцию разложить только по отрицательным степеням по схеме
то ряд будет сходиться для
Примеры показывают, что наличие изолированной оси в пространстве
В соответствии с алгебраическими операциями над степенными рядами заключаем. Если даны функции
где первый ряд сходится в сфере
а ряд второй в сфере
причем
тогда имеют место разложения:
Ряды сходятся в сфере
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com