![]() |
В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
1.6. Вычеты в пространстве. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
В пространстве имеет место две формулы вычетов:криволинейный и поверхностный. Введем определение вычетов.
Пространственным криволинейным вычетом
функции в точке
называется коэффициент
ряда Лорана для функции в
окрестности точки
, то есть
число, которое обозначается символом
![]() |
(1.61.) |
Формула следует из формулы для определения
коэффициентов ряда Лорана. Под кривой понимаем кривую типа
, которая натянута на
сферу радиуса
![]() |
(1.62.) |
Очевидно, что если точка
a точка регулярности функции, либо устранимая особая точка, то вычет равен нулю. Если в разложении функции в ряд Лорана отсутствует с первой отрицательной степенью n=-1, то вычет равен 0.Поверхностным вычетом функции в точке
![]() |
(1.63.) |
где -
поверхность, натянутая на кривую
без точек самопересечения,
радиус которой равен
. Из
формул для коэффициентов ряда
Лорана получим .
Следовательно двойной интеграл равен
![]() |
(1.64.) |
Вычисление вычета в полюсе простого или
кратного определяется видом ряда Лорана для
функции. Если имеем , откуда
находим
, так что
, а также
, так
что
.
Если ряд Лорана имеет вид
то функция в
окрестности точки
имеет полюс
кратности n. Умножая это разложение на
, дифференцируя n-1 раз и затем
переходя к пределу при
получим
выражение
![]() |
(1.65.) |
По той же схеме получим
![]() |
(1.66.) |
Пример. Определить вычет функции в точке
. Функция разлагается в ряд Лорана в
окрестности точки
в виде
, где
Следовательно . Откуда имеем
.
Пример. Пусть . Разложение
функции
в ряд Тейлора дает
представление функции
в виде
Откуда . Двойной интеграл
Пример. Пусть .
Функция имеет полюс первого порядка в точке
и полюс первого порядка в точке
.Поэтому по формуле
имеем
.
Пример. Рассмотрим функцию .
Функция имеет особые точки
полюс
второго порядка,
, полюс
второго порядка. Используя формулу для расчета
вычетов кратных полюсов будем последовательно
иметь.
Функция имеет также два пространственных полюса второго порядка (см. пример )
.
По формуле вычислим пространственные вычеты
Пример. Пусть дана функция .
Используя результаты предыдущего примера,
вычислим пространственные вычеты.
Пример . Пусть дана функция Определить
пространственные вычеты. Представим функцию в
следующем виде
Используя
результаты предыдущего примера будем иметь
В пространстве функция
представима также в виде
Откуда будем иметь
. Эти
выкладки показывают, что пространственный
корень
является особой точкой
первого порядка.
Вычет в бесконечно удаленной точке.
В соответствии с комплексной пространственной
алгебре элемент изображается
в сферических координатах в виде
, так что бесконечная точка
характеризуется бесконечным радиусом модулем
Точка ноль
определяется в пространстве как это
неоднократно утверждалось в виде
и произведением
, где параметры
действительные, а
.
Если положить и
рассматривать функции
, тогда
функция
будет аналитической в
некоторой окрестности точки ноль, которая будет
особой точкой того же типа, что и точка
для функции
Теорема. Пусть функция непрерывна
на границе области G поверхности
, натянутой без
точек самопересечения на пространственную
кривую типа
и
аналитична внутри этой области всюду, кроме
конечного числа особых точек
,
тогда имеем в пространстве Y следующие
соотношения
Если точка лежит внутри
области G и если точка
также
принадлежит этой области, то
Если внутри области G имеется контур Г или
поверхность содержащими
внутри себя особые точки
, то
справедливы следующие интегральные соотношения
Вычетом функции в бесконечной точке будет
число , а также
, где
поверхность
натянута
на кривую
достаточно большой
сферы
, которая проходится в
обратном направлении. Поэтому вычеты равны
, где
есть коэффициенты перед
соответственно в лорановском
разложении функции в окрестности бесконечно
удаленной точке.
Рис. 30. Связность области в комплексной плоскости.
Рис. 31. Связность области в комплексном пространстве.
В комплексной плоскости Z теорема о вычетах
соответствовала Рис. 30, где область G находится
между границей,
где
и Г, состоящей
из конечного числа ограниченных кусочно гладких
кривых
, где
В комплексном пространстве Y рассматривается
сфера с поверхностью, натянутой на бесконечно
большой радиус .
Особые точки окружены сферами бесконечно малого
радиуса
. Так как через особую
точку проходит изолированное направление, то на
границе области фиксируются проколы поверхности
бесконечно малого радиуса. (Рис. 31.)
Пример. Вычислить интеграл , где поверхность
натянута на сферу
.
В области
функция имеет
четыре особые пространственные точки
. Вычеты во
всех особых точках рассчитаны в примере , поэтому
в соответствии с теоремой о вычетах имеем
Пример . Вычислить интеграл по поверхности
натянутой на
.
Пространственные вычеты согласно примера для
данной функции равны
. В
соответствии с теоремой о вычетах будем иметь
В дальнейшем можно произвести выделение первой и второй комплексной части
Интегралы вида , где
поверхность
натянута
на сферу радиуса
, так что
переменные
изменяются
соответственно в пределах
.
Для сокращения записей введем обозначения
. Так, что интеграл перейдет в
интеграл
На поверхности сферы имеем и
введенные переменные могут быть записаны через
одну переменную
в комплексном
виде
, откуда
получаем
и в силу
будем иметь
.
Исходный интеграл сводится к вычислению
двойного интеграла по поверхности
, где
-есть
рациональная функция от
.
Тогда по теореме о вычетах
, где
- все полюсы
рациональной функции
,
лежащие в сфере
.
Пример . Вычислить интеграл
Преобразуем знаменатель. . Подставляя полученные
выражения в исходный интеграл, будем иметь
Знаменатель имеет корни.
Первый корень при
является
особой точкой подынтегральной функции –полюсом
второго порядка.
Знаменатель имеет два пространственных корня . Пространственные корни при
имеют модуль
и не являются особыми точками
подъинтегральной функцией. Если принять
, то
где
. При тех же условиях
.
Поэтому согласно теореме о вычетах имеем . Окончательно интеграл равен
Подынтегральную функцию преобразуем на сумму
первых комплексных функций. Для этого обозначим и подставим в подынтегральную
функцию
Следовательно
первая комплексная часть равна
, вторая комплексная часть равна
, В
результате имеем расчет двух двойных интегралов
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com