![]() |
В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
1.7.2. Интеграл от рациональных функций.
Пусть
Сходимость интеграла от функции
При вычислении интегралов в пространстве необходимо соблюдать условия , которые обеспечивают эквивалентные разложения подынтегральной функции в области ее определения. Нахождение критических точек в пространстве зависит от области определения функции и возможности ее разложения на эквивалентные разложения. Например, если функция определена в полном пространстве , то можно не использовать эквивалентные разложения. Если
функция определена только в верхнем или только в нижнем полупространстве то нет условий для эквивалентных разложений. В первом случае условия есть , но ими можно не пользоваться, во втором случае их вообще нельзя применить. Если из полного пространства вычтена плоскость Z, то критические точки определяются из условия существования делителей нуля. Возможно существование областей, в которых содержатся не все критические точки , характеризующие эквивалентные разложения.Пример
Корни
Многочлен разлагается на множители по двум вариантам
Второй вариант разложения в комплексном пространстве представим в виде
Разложение представлено произведением двух комплексных пространственных чисел. Радиусы этих чисел представлены корнем квадратным из исходного многочлена. Аргументы комплексов представлены функцией
arctg от одинаковых комплексов. Если переменная u =1, то произведение состоит из двух множителей, модуль каждого из которых равен 2,а аргумент соответственноЭтот пример показывает, что изолированная ось делителей нуля смещается в точку
Рис. 32. Особые точки в пространстве
Пример
Разложим функцию
В пространстве нуль доставляется как произведением делителей нуля так и конкретно нулем. Поэтому при разложении по второму варианту в пространстве точки
Функция
Изолирование точек
Рис. 33. Эквивалентность особых точек из плоскости
Z в пространстве Y.В пространстве в соответствии с ее геометрией любая точка может быть окружена сферой из делителей нуля
Радиус
R становится коэффициентом при сфере радиусаВ нижнем полупространстве сфера из делителей нуля около точки
Если точка
Аналогично, если
Таким образом поверхность составленная из точек делителей нуля около пространственных точек, в которых функция теряет аналитичность стягивается в поверхность сферы
Пример
где
. Вычислим интеграл
.
Определим
Пределы интегрирования расставлены в соответствии с элементарной кривой
в пространстве.
Пример
Вычислим интеграл
Элементарная площадка
.
Пределы интегрирования взяты из условия, что замкнутая поверхность
Самопересечения на пространственную кривую
Расстановка пределов интегрирования определяется аргументом
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com