![]() |
В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
1.7.4. Лемма К. Жордана в комплексном пространстве
Пусть имеем
1) функция
2) при
где
- верхняя полусфера
Тогда
Доказательство. Заменим в интеграле функцию синус ее представлением в пространстве
.
Так, что необходимо исследовать два интеграла
Рассмотрим первый интеграл.
Определим модуль функции
Пусть
Модуль функции
Оценим интеграл по модулю
От элемента площади остался один модуль
Заменим подынтегральную функцию ее максимальным значением в интервале интегрирования. Функция
Эта величина является максимальной величиной функции в заданном интервале. Оценим величину функции в промежутках интервала интегрирования
Тогда
Если произведение
так как
Следовательно подынтегральная функция имеет максимальное значение равное единице. Поэтому интеграл
то
Доказано, что
Все операции по первому интегралу переносятся во второй
Так, что
Следовательно интеграл для верхней полусферы
Проведем доказательство для изолированного направления в верхнем полупространстве. Интегралы
.
Для интервала
,
для интервала
В верхней половине полусферы аргумент
Оценка модуля интегралов
сводятся к оценки выражений
.
В пределах
Преобразуем интегралы к повторным
Второй интеграл дает выражение
Подынтегральные выражения на концах интервала имеют неопределенность. Раскрывая неопределенность получим
,
Подставляя эти оценки в исходные интегралы получим
. Если максимальное значение
Функции то
Таким образом , доказана вторая часть леммы. Сумма интегралов доставляет доказательство леммы К . Жордана в пространстве
.
Проекция интеграла на плоскость Z даст интеграл
Если функция
соответствует условиям Леммы и содержит ограниченное число полюсов в верхнем полупространстве , то по теореме Коши для многосвязных областей имеет место равенство
Но по лемме К. Жордана
.
Пример .Вычислить интеграл
Подынтегральная функция не имеет особых точек в верхнем полупространстве. Кроме того ,
по лемме Жордана. Для вычисления интеграла
,рассмотрим Лорановское разложение функции синус в окрестности точки 0 и оценим подынтегральную функцию
где
Проекция интеграла на плоскость Z равна
.Окончательно получим
Преобразуем подынтегральное выражение. Введем
суммируя мнимую и действительную части получим
.
Отделяя действительную и мнимую часть в исходном интеграле получим :
Пример 3. Продолжение исследования вычисления примеров 1,2 пункта 1.7.1. Вычислим интеграл примера 2 . Представим интеграл в виде суммы двух равных частей
Знаменатели дроби выразим через произведение линейных множителей , на которые раскладывается квадратный трехчлен. На основании равенства
Если поверхность S , охватывает все изолированные точки, то применяя последовательно формулу Коши получим
Совпадает с результатом расчета примера 2 пункта 1.7.1.
Вычислим интеграл по другому варианту. Разложение квадратного трехчлена на простейшие множители в пространстве позволяет квадрат этого трехчлена записать в виде произведения четырех множителей. Интеграл примет вид
в этих выражениях каждый из интегралов содержит по четыре изолированные точки –полюса подынтегральной функции. Каждая из пространственных точек является полюсом второго порядка. Вычисление интеграла сводится к вычислению четырех интегралов . По теореме для многосвязных областей каждую изолированную пространственную точку окружим сферической поверхностью с радиусом стремящимся к нулю.
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com