1.6. Вычеты в пространстве. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

В. И. ЕЛИСЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[Оглавление]

1.6. Вычеты в пространстве. Вычисление интегралов с помощью вычетов.

В пространстве имеет место две формулы вычетов:криволинейный и поверхностный. Введем определение вычетов.

Пространственным криволинейным вычетом функции в точке называется коэффициент ряда Лорана для функции в окрестности точки , то есть число, которое обозначается символом .

(1.61.)

Формула следует из формулы для определения коэффициентов ряда Лорана. Под кривой понимаем кривую типа , которая натянута на сферу радиуса r с проколотым изолированным направлением радиуса , так что . Формула приводит к вычислению интегралов

(1.62.)

Очевидно, что если точка a точка регулярности функции, либо устранимая особая точка, то вычет равен нулю. Если в разложении функции в ряд Лорана отсутствует с первой отрицательной степенью n=-1, то вычет равен 0.

Поверхностным вычетом функции в точке a обозначим и назовем число

(1.63.)

где - поверхность, натянутая на кривую без точек самопересечения, радиус которой равен . Из формул для коэффициентов ряда

Лорана получим . Следовательно двойной интеграл равен

(1.64.)

Вычисление вычета в полюсе простого или кратного определяется видом ряда Лорана для функции. Если имеем , откуда находим

, так что , а также , так что .

Если ряд Лорана имеет вид

то функция в окрестности точки имеет полюс кратности n. Умножая это разложение на , дифференцируя n-1 раз и затем переходя к пределу при получим выражение

(1.65.)

По той же схеме получим

(1.66.)

Пример. Определить вычет функции в точке . Функция разлагается в ряд Лорана в окрестности точки в виде , где

Следовательно . Откуда имеем,

Пример. Пусть . Разложение функции в ряд Тейлора дает представление функции в виде

Откуда . Двойной интеграл

Пример. Пусть . Функция имеет полюс первого порядка в точке и полюс первого порядка в точке .Поэтому по формуле имеем. . Данная функция в пространстве имеет еще две особые точки, которые соответствуют корням алгебраического уравнения стоящего в знаменателе. Последовательно получим .Откуда . Следовательно функция представима в следующем виде Особые изолированные пространственные точки позволят вычислить еще два вычета

Пример. Рассмотрим функцию . Функция имеет особые точки полюс второго порядка, , полюс второго порядка. Используя формулу для расчета вычетов кратных полюсов будем последовательно иметь.

Функция имеет также два пространственных полюса второго порядка (см. пример )

По формуле вычислим пространственные вычеты

Пример. Пусть дана функция . Используя результаты предыдущего примера, вычислим пространственные вычеты.

Пример . Пусть дана функция Определить пространственные вычеты. Представим функцию в следующем виде Используя результаты предыдущего примера будем иметь

В пространстве функция представима также в виде

Откуда будем иметь

. Эти выкладки показывают, что пространственный корень является особой точкой первого порядка.

Вычет в бесконечно удаленной точке.

В соответствии с комплексной пространственной алгебре элемент изображается в сферических координатах в виде , так что бесконечная точка характеризуется бесконечным радиусом модулем Точка ноль определяется в пространстве как это неоднократно утверждалось в виде и произведением , где параметры действительные, а .

Если положить и рассматривать функции , тогда функция будет аналитической в некоторой окрестности точки ноль, которая будет особой точкой того же типа, что и точка для функции .Так что бесконечная точка есть или на изолированной оси

Теорема. Пусть функция непрерывна на границе области G поверхности , натянутой без точек самопересечения на пространственную кривую типа и аналитична внутри этой области всюду, кроме конечного числа особых точек , тогда имеем в пространстве Y следующие соотношения

Если точка лежит внутри области G и если точка также принадлежит этой области, то

Если внутри области G имеется контур Г или поверхность содержащими внутри себя особые точки , то справедливы следующие интегральные соотношения

Вычетом функции в бесконечной точке будет число , а также

, где поверхность натянута на кривую достаточно большой сферы , которая проходится в обратном направлении. Поэтому вычеты равны

, где есть коэффициенты перед соответственно в лорановском разложении функции в окрестности бесконечно удаленной точке.

Рис. 30. Связность области в комплексной плоскости.

Рис. 31. Связность области в комплексном пространстве.

В комплексной плоскости Z теорема о вычетах соответствовала Рис. 30, где область G находится между границей, где и Г, состоящей из конечного числа ограниченных кусочно гладких кривых , где

В комплексном пространстве Y рассматривается сфера с поверхностью, натянутой на бесконечно большой радиус . Особые точки окружены сферами бесконечно малого радиуса . Так как через особую точку проходит изолированное направление, то на границе области фиксируются проколы поверхности бесконечно малого радиуса. (Рис. 31.)

Пример. Вычислить интеграл , где поверхность натянута на сферу . В области функция имеет четыре особые пространственные точки

. Вычеты во всех особых точках рассчитаны в примере , поэтому в соответствии с теоремой о вычетах имеем

Пример . Вычислить интеграл по поверхности натянутой на

. Пространственные вычеты согласно примера для данной функции равны . В соответствии с теоремой о вычетах будем иметь

В дальнейшем можно произвести выделение первой и второй комплексной части

Интегралы вида , где поверхность натянута на сферу радиуса , так что переменные изменяются соответственно в пределах . Для сокращения записей введем обозначения . Так, что интеграл перейдет в интеграл .

На поверхности сферы имеем и введенные переменные могут быть записаны через одну переменную в комплексном виде, . Элемент площади выразится как произведение

, откуда получаем и в силу будем иметь . Исходный интеграл сводится к вычислению двойного интеграла по поверхности , где -есть рациональная функция от . Тогда по теореме о вычетах

, где - все полюсы рациональной функции , лежащие в сфере .

Пример . Вычислить интеграл

Преобразуем знаменатель. . Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, будем иметь

Знаменатель имеет корни. Первый корень при является особой точкой подынтегральной функции –полюсом второго порядка.

Знаменатель имеет два пространственных корня . Пространственные корни при имеют модуль и не являются особыми точками подъинтегральной функцией. Если принять , то

где . При тех же условиях

Поэтому согласно теореме о вычетах имеем . Окончательно интеграл равен

Подынтегральную функцию преобразуем на сумму первых комплексных функций. Для этого обозначим и подставим в подынтегральную функцию

Следовательно первая комплексная часть равна , вторая комплексная часть равна

, В результате имеем расчет двух двойных интегралов

[Следующий параграф]

Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]

Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com