![]() |
В. И. ЕЛИСЕЕВ ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ
ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО |
|
10.1. Расширение поля комплексных чисел. Исследование необходимых и достаточных условий расширения поля комплексных чисел.
Новая система чисел. Обоснование введения мнимых единиц и их взаимосвязь.
ТЕОРЕМА
Пространственное поле чисел представляется комплексом
,
где
I,J –мнимые единицы (отличаются только обозначением) являются корнями уравненияпроизведение мнимых единиц обладает свойством коммутативности
сумма и разность мнимых единиц в произведении дают ноль.
Доказательство
Доказательство включает три основных положения: необходимость введения мнимой единицы
J, которая отличается от мнимой единицы I только обозначением и является также решением квадратного уравненияРасширение поля действительных чисел происходит за счет присоединения к ним мнимой единицы
I, которая не лежит на действительной оси и является решением квадратного уравнения, так что имеем
При этом квадратное уравнение разлагается на линейные множители
Если Х равен одному из корней, то один из множителей равен нулю. Это тривиальный результат. Любое другое значение Х не дает решение.
Однако до сих пор
Остается нерассмотренный вариант равенства нулю двух множителей не равных нулю
,
а в произведении дающих нуль. В этом случае имеем два несовместных уравнения ( одновременно не выполняются выражения), например
Это условие диктует введение второй мнимой единицы.
Поэтому вводится мнимая единица
J, которая не лежит в действительных областях чисел X,Y и также как мнимая единица I является решением квадратного уравненияТаким образом, квадратное уравнение разлагается на линейные множители не равные нулю, но в произведении дающие ноль
Сомножители являются делителями нуля. Для того, чтобы пространственное число образовывало поле чисел необходимо также доказать, что делители нуля подчиняются законам алгебры действительных и комплексных чисел в смысле Коши.
Мнимые числа одновременно являются решением квадратного уравнения, как его корни, так и дают равенство его нулю при разложении на линейные множители, представляющие сумму и разность этих чисел. Таким образом, третье условие равенства нулю двух множителей, одновременно не равных нулю, а также наличие корня квадратного уравнения одновременно с этим условием обосновывает введение второй мнимой единицы.
Докажем второе положение. Во первых:
Действительные числа и мнимые единицы, которые также являются числами, подчиняются закону коммутативного умножения, так как в противном случае не будет выполняться третье условие равенства нулю двух множителей одновременно не равных нулю. Поэтому
Можно записать
Четвертая единица
Квадратное уравнение
Эта формула справедлива при условии, когда отсчет корней начинается от аргумента равного нулю. В тривиальном случае принимается любое число в нулевой степени равно единице, так что
. Этот вариант извлечения корня требует уточнения.
Мини оглавление:
[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11]
Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.
E-mail: mathsru@gmail.com