Преобразованную координатную матрицу запишем в выражениях комплексной пространственной алгебры. Левая часть соотношений (3.4.7) и (3.4.8) примет вид

По законам комплексной алгебры модуль комплекса (3.4.10) равен

Аргумент комплекса

Из модуля комплекса (3.4.11.) видно, квадрат модуля комплекса (3.4.10.) равен интервалу

Правая часть соотношений (3.4.7.) и (3.4.8.) даст комплекс

Модуль комплекса в этом случае равен

Подкоренное выражение дает квадраты интервала , так что сам интервал есть квадрат модуля комплекса . Аргумент комплекса

Таким образом, матрица координат теории относительности записывается как равенство комплексов в сферической системе координат.

Где определены по формулам (3.4.11.), (3.4.12.), (3.4.15.), (3.4.16.). Алгебра комплексного пространства утверждает равенство комплексов при равенстве их модулей и равенстве аргументов

В теории относительности исследуется простейший вариант, когда отсутствуют повороты в комплексной плоскости и . В этом случае

Величина в соответствии с формулой

Таким образом, обе системы имеют действительные аргументы. При равенстве интервалов должно соблюдаться равенство аргументов

а аргумент

Числитель становится равным . При этом имеем В этом случае уголтакже равен . Это требование пространственной комплексной алгебры. Следовательно . Это соответствует записи координат в матричной форме теории относительности (3.4.8.) Равенство комплексов в этом случае приобретает вид

Преобразуем данное равенство.

Равенство означает проекцию системы отсчета на изолированную ось. Приравнивая мнимые части и вводя под знак радикала условия теории относительности , окончательно получим соотношение теории относительности для измерения длин отрезков.

Теория относительности утверждает, что сравнение длин отрезков происходит в системах отсчета для одновременных событий, при условии Интервал в этом случае равен , где -длинна отрезка. Конечный результат при матричном выражении координат систем отсчета может быть получен непосредственной подстановкой условий в выражение (3.4.7.) Таким образом, условия есть замена экспоненциальной функции

Если процесс локализован, когда события проходят в одной и той же точке, то существует система отсчета при одна из координат интервала (3.4.7.) становится равной нулю . Числитель дроби в правой части равенства (3.4.8.) становится равным

Формула определяет замедление времени утверждает теория относительности.

Рассмотрим комплексную пространственную систему координат. При условии аргумент . Равенство аргументов комплексов дает

Из равенства комплексов получаем

Преобразуем это равенство

Вводя параметр окончательно получаем соотношение (3.4.25.)

Сопоставление математических операций, проведенных на базе алгебры комплексного пространственного переменного, с операциями координат, записанных в матричной форме, а также рассуждениями об интервале в теории относительности, показывает их тождественность.

[Следующий параграф]