В. И. ЕЛИСЕЕВ

ВВЕДЕНИЕ В МЕТОДЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ ПРОСТРАНСТВЕННОГО КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
[Оглавление][Блог]

Книги автора на Amazon.com

Amazon.com

- Елисеев В.И. Числовое поле. Введение в ТФКПП.

- Елисеев В.И. Оси координат физической реальности.


1.7.2. Интеграл от рациональных функций.

Пусть , где и есть многочлены степени n и m соответственно

Сходимость интеграла от функции обеспечивается соотношением степеней многочленов как . В соответствии с пространственной комплексной алгеброй многочлен знаменателя разложим на произведение квадратных трехчленов, как минимальных по степени многочленов, содержащих два вида корней: два корня в плоскости (z) два корня в пространстве (.

При вычислении интегралов в пространстве необходимо соблюдать условия , которые обеспечивают эквивалентные разложения подынтегральной функции в области ее определения. Нахождение критических точек в пространстве зависит от области определения функции и возможности ее разложения на эквивалентные разложения. Например, если функция определена в полном пространстве , то можно не использовать эквивалентные разложения. Если функция определена только в верхнем или только в нижнем полупространстве то нет условий для эквивалентных разложений. В первом случае условия есть , но ими можно не пользоваться, во втором случае их вообще нельзя применить. Если из полного пространства вычтена плоскость Z, то критические точки определяются из условия существования делителей нуля. Возможно существование областей, в которых содержатся не все критические точки , характеризующие эквивалентные разложения.

Пример

Корни и лежат в плоскости (z),корни илежат в пространстве ( рис 32.

Многочлен разлагается на множители по двум вариантам

Второй вариант разложения в комплексном пространстве представим в виде

Разложение представлено произведением двух комплексных пространственных чисел. Радиусы этих чисел представлены корнем квадратным из исходного многочлена. Аргументы комплексов представлены функцией arctg от одинаковых комплексов. Если переменная u =1, то произведение состоит из двух множителей, модуль каждого из которых равен 2,а аргумент соответственно .Если переменная u равна соответственно корням многочлена u =-1 или u =3 то множители превращаются в делителей нуля.

Этот пример показывает, что изолированная ось делителей нуля смещается в точку .На изолированной оси в пространстве находятся пространственные корни многочлена u 3 и u 4,а также и точки u 1 и u 2.

Рис. 32. Особые точки в пространстве

Пример

Разложим функцию на дроби в пространстве

В пространстве нуль доставляется как произведением делителей нуля так и конкретно нулем. Поэтому при разложении по второму варианту в пространстве точки и дают нуль как произведение делителей и критические точки располагаются на изолированной оси. Это подтверждает разложение на сумму дробей. В знаменателе этого разложения нуль есть при и . При и знаменатели дробей не превращаются в нуль, поэтому рассматриваются эти точки как критические точки на изолированной оси. В этом случае имеем нуль как произведение делителей нуля.

Функция не регулярна в пространственных точках ,которые являются пространственными корнями квадратного трехчлена в соответствии с примером.

Изолирование точек и в пространстве происходит при окружении точек сферой , радиус которой стремится к нулю

Рис. 33. Эквивалентность особых точек из плоскости Z в пространстве Y.

В пространстве в соответствии с ее геометрией любая точка может быть окружена сферой из делителей нуля

Радиус R становится коэффициентом при сфере радиуса , аргументы и при этом в зависимости от знака изолированного направления описывает верхнюю или нижнюю половину сферы.Сфера из точек делителей нуля около точки , лежащей в верхней части полупространства состоит из двух полусфер. Нижняя полусфера делителей нуля определяется изоляцией точки из плоскости Z,верхняя полусфера определяется сферой делителей нуля изолированной точки , лежащей также в плоскости Z с поворотом по углу.

В нижнем полупространстве сфера из делителей нуля около точки образуется также из двух полусфер:верхняя полусфера образуется выделением точки ,нижняя полусфера выделением точки с поворотом по углу на .

Если точкаокружена сферой делителей нуля то при стремлении ,, то двигаясь по изолированному направлению получим точку .

Аналогично, если ,, то имеем:

Таким образом поверхность составленная из точек делителей нуля около пространственных точек, в которых функция теряет аналитичность стягивается в поверхность сферы внутри изолированной оси и происходит пространственная изоляция точек из плоскости Z . (рис 33)

Пример

где . Вычислим интеграл .

Определим .Подставляя в интеграл получим

Пределы интегрирования расставлены в соответствии с элементарной кривой в пространстве.

Пример

Вычислим интеграл

Элементарная площадка . Подставляя в интеграл выражение функции и элементарной площадки получим

.

Пределы интегрирования взяты из условия, что замкнутая поверхность натянута без точек

Самопересечения на пространственную кривую . Однако в сферических координатах необходимо ввести систему отсчета углов и по поверхности сферы ,без учета поверхности изолированной оси. В этом случае интеграл JJ будет вычисляться в следующих пределах

Расстановка пределов интегрирования определяется аргументом,так как он в зависимости от рассматриваемого пространства может быть действительным и комплексным в соответствии с (1.42)

[Следующий параграф]


Мини оглавление:

[0], [1.1.1, 1.1.2, 1.1.3, 1.1.4, 1.1.5, 1.1.6, 1.1.7, 1.1.8, 1.2, 1.2.1, 1.2.2, 1.2.2.a, 1.2.2.b, 1.2.2.c, 1.2.2.d, 1.2.2.e, 1.2.2.f, 1.2.2.g, 1.2.2.h, 1.2.3, 1.3.1, 1.3.2, 1.3.3, 1.3.4, 1.3.5, 1.3.6, 1.4.1, 1.4.2, 1.5, 1.6, 1.7.1, 1.7.2, 1.7.3.1, 1.7.3.2, 1.7.3.3, 1.7.4.1, 1.7.4.2, 1.8.1], [2.1, 2.2],[3.1, 3.2, 3.3, 3.4.1, 3.4.2, 3.4.3, 3.4.4, 3.4.5],[4.1, 4.2, 4.3, 4.4],[5.1, 5.1.Рис.52, 5.2, 5.3, 5.4, 5.4.Т1, 5.4.Т2, 5.4.Т3, 5.5.1, 5.5.2, 5.5.3, 5.5.4],[6.1.1, 6.1.2, 6.2.1, 6.2.2, 6.2.3, 6.2.4, 6.2.5, 6.3, 6.4.1, 6.4.2, 6.5.1, 6.5.2],[7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6, 7.7.1, 7.7.2, 7.8.1, 7.8.2, 7.8.3, 7.9],[8.1, 8.2.1, 8.2.2, 8.3, 8.4, 8.5, 8.6, 8.6.T1, 8.7, 8.8.1, 8.8.2, 8.8.3, 8.9.1, 8.9.2, 8.9.3, 8.10, 8.10.T2, 8.10.T3],[9.1, 9.2, 9.3, Рис.88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99, 100],[10.1, 10.2, 10.3, 10.4, 10.5, 10.6, 10.7, 10.8, 10.9, 10.10, 10.11, 10.12, 10.13, 10.14, 10.15.1, 10.15.2, 10.16.1, 10.16.2, 10.17, 10.18],[11

Вы можете скачать книгу целиком на свой компьютер в виде PDF файла (10.3Mb / 541 страниц) (31 Авгутста 2003). Размещенный материал является электронной версией книги: © В.И.Елисеев, "Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного", изданной Центром научно-технического творчества молодежи Алгоритм. - М.:, НИАТ. - 1990. Шифр Д7-90/83308. в каталоге Государственной публичной научно-технической библиотеки. Сайт действует с 10 августа 1998.

E-mail: mathsru@gmail.com

Rambler's Top100 Service